一般观念引领下的初中“线段”教学建议
https://cimg.fx361.com/images/2024/1225/YZ29uFnmdeZjvfnhM2qKBz.webphttps://cimg.fx361.com/images/2024/1225/68CykKVnGZS2bD5dEAKmsW.webphttps://cimg.fx361.com/images/2024/1225/ivtUkBXbmKNXtzKYk7W22t.webphttps://cimg.fx361.com/images/2024/1225/gxKB7z9Mmzg2QEwuqwyWc7.webphttps://cimg.fx361.com/images/2024/1225/ebkqFCTG57JYdwxqtWk5Vw.webphttps://cimg.fx361.com/images/2024/1225/FNZvDAfMmGm9vDACauQcnQ.webphttps://cimg.fx361.com/images/2024/1225/hN7iPFo8p5CUyxUAZzdRH2.webphttps://cimg.fx361.com/images/2024/1225/ZERE8MUQr5FfE2QhnYkXBj.webphttps://cimg.fx361.com/images/2024/1225/GFLPhPrtBG6qeAZrRbAYqW.webphttps://cimg.fx361.com/images/2024/1225/meuRg2mtqiEWq5g3JbAk88.webp［摘 要］ 一般观念在数学教学中具有方向标的作用，以其为纲，能够教会学生如何用相似的方法学习同质内容. 文章立足一般观念，提炼图形性质学习的一般框架，并以人教版（2011年版）七上的“线段”教学为例，探讨如何在具体教学中渗透一般观念，引领学生感悟知识的来龙去脉，培养其迁移能力和应用意识.［关键词］ 一般观念；图形性质；线段教学引言伴随着《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“课标”）的颁布，知识的结构性和整体性再次引发热议. 课标指导我们在教学中要重视对教学内容的整体分析，帮助学生建立能体现数学学科本质、对未来学习有支撑意义的结构化的数学知识体系［1］. 事实上，数学知识的结构性和整体性早已不再局限于教学内容本身，一般观念引领下的教学框架和研究方法也开始得到越来越多人的讨论和关注.数学一般观念是对内容及其反映的数学思想方法的进一步提炼和概括，是对数学对象的定义方式、几何性质指什么、代数性质指什么等问题的一般性回答，是研究数学对象的方法论［2］. 数学一般观念可以揭示学科本质，用其统领教学，能起到“纲举目张”的效果，能帮助学生把知识理解为连贯的整体，是落实整体性教学和深度学习的重要途径.“一般观念”融入初中图形性质教学的意义对数学学习而言，融入一般观念的图形性质教学，能够帮助学生构建结构化的数学知识体系. 从一般观念的角度分析，图形与几何的研究手段基本是“通过尺规作图和图形变换建立几何直观—通过演绎推理构建几何逻辑结构—初步量化表达”. 这些内容比较抽象，在具体课堂教学中的操作性不强. 立足一般观念提炼出数学研究的一般框架，可以有效解决这个问题，能帮助学生明确学习同质内容的一般思路和研究方法.对教师发展而言，一般观念引领下的数学教学，能够有效促进教师专业成长. 一般观念是数学学习中的顶层思想观念，以图形性质教学为例，站位一般观念的课堂能够向学生传达这样一种理念——不同的几何图形只是学习载体，图形性质的学习本质上是在研究构成图形的基本元素或者相关元素之间的位置关系与大小数量关系. 因此，教师本身必须明确不同领域和不同学习主题的核心思想和观念，对课标有更加透彻的理解，从整体性和一致性的角度统筹把握教学节奏，以学促教，提升自身的专业素养.对学生学习而言，一般观念引领下的数学课堂，能够有效达成深度学习. 以图形性质学习为例，传统的几何教学更注重学生几何研究经验的积累和相关技能训练. 在这样的课堂中，学生或许能明白“如何解题”，但是对于几何学习的主要内容和一般性方法缺乏系统的认识. 一般观念引领下的几何课堂，学生能够从研究内容、研究思路和研究方法等方面研究学习对象，梳理学习图形性质的一般框架和思路，构建完整的知识体系.定题“线段”的缘由在下文中，笔者将以人教版（2011年版）七年级上册第四章“几何图形初步”中的“线段”为例，探讨一般观念引领下图形性质教学的实施策略. 之所以以“线段”为题，主要是基于以下两个原因.第一，大部分学生，甚至包括一些老师，都忽视了“线段”的重要性. 学生在小学阶段积累了“线段”的部分学习经验，大家容易对初中“线段”的学习产生这样的误解：“线段”的学习只是在小学已有基础上，增添了表示方法、尺规作图等内容，浅显易懂，学生不需要花费太多精力，只要通过技能训练，就能达成学习目标.第二，“线段”这部分内容设置在人教版（2011年版）七年级上册“几何图形初步”这个章节，不仅是学生在初中阶段第一次正式接触几何学习，也是图形性质教学的开端. 如果教师能够站位一般观念，引导学生从“构成元素”的角度思考和理解“线段”的不同学习环节，就把握住了一个很好的契机，能帮助学生构建对后续几何学习有支撑意义的结构化研究框架.一般观念引领下，“线段”教学的实施建议（一）立足一般观念，提炼图形性质教学的一般框架图形性质学习的一般框架可以从研究内容、研究思路和研究方法三个角度进行梳理，如图1所示.（二）“线段”主要环节的教学建议1. 线段的定义及表示法问题1 线段的定义：直线上两点及两点间的部分.追问：如果从“构成元素”的角度分析，线段定义可以提炼出几个元素？问题2 线段的表示方法：用一个小写字母或者两个大写字母表示，如图2所示.追问1：结合定义中提炼的“元素”，尝试说明线段命名的依据.追问2：你能仿照线段的命名方式，从“构成元素”的角度给射线命名吗？设计意图 图形性质本质上是在研究构成图形的基本元素或者相关元素之间的位置关系与大小数量关系. 教师应该借着“定义”，跟学生明确线段的两个构成要素：直线和点，再通过“用两个大写字母表示线段”来强化基本要素的重要性. 因为用两个大写字母表示线段就是回归到了“点”这个要素上. 这样的解读方式能够在学生心中埋下一颗名为“基本元素”的种子，为后续的教学做好铺垫.2. 尺规作图问题 如何借助没有刻度的直尺和圆规构造一条线段等于已知线段？作图步骤：（1）画一条射线；（2）在射线上截取一条线段等于已知线段.追问：在定义学习中，我们强调了构成元素的重要性，你能尝试从这个角度分析作图步骤与构成元素的关联吗？设计意图 在尺规作图教学中，作图技能的训练往往是教师关注的重点. 但是站位一般观念，简单的技能固化并不能体现学习本质，教师应该从构成要素的角度来解读作图步骤：线段指的是直线上两点及两点间的部分，那么先画一条射线相当于构造了一个点和一条线，再用圆规截取则能定位出另外一个点. 这样的剖析过程能够帮助学生从构成元素的角度领悟“为何这样的操作就能构造出一条线段等于已知线段”.3. 线段的大小比较问题 你能用哪几种方法比较线段a，b，c的长短？如图3所示.归纳：如表1.追问：仔细观察“图形语言”，有了前面的学习经验，你能找到线段构成元素与大小比较的关联吗？设计意图 在进行这个环节的教学时，教师应该引导学生有逻辑地思考这样一个关联：“点的位置关系”反映了“线段间的数量关系”. 最后的追问不仅再次回归到了线段的构成要素——“点”，还帮助学生将“线段大小比较”这个问题，从直观的图形感受上升到理性的逻辑结构，培养了他们的推理能力和抽象能力.4. 线段和差问题1 如图4所示，已知线段a，b，求作一条线段，使它等于a +b.作图步骤：（1）画一条射线；（2）在射线上依次截取AB=a，BC=b，则有AC=a +b，如图5所示.追问1：若a=1，b=2，马上可以得到a +b=3，为什么在尺规作图的过程中却要“先画一条射线”？追问2：能不能先画一条线段AB等于a，再拼一条线段BC等于b，用拼接的方式（点B重合）得到AC呢？设计意图 解决上述两个追问的关键就在题目的要求“求作一条线段”. “为什么要先画一条射线”这个问题是本环节的重难点. 倘若只从数量的角度考虑，线段的长度是可以直接相加减的，学生在三角形周长等内容的学习中，已经积累了丰富的经验. 但是如果要用一条新的线段来表示两条线段的和（差），简单的拼接并不能达成这个目的.从形的角度来看，线段是直线上两点及两点间的部分，用拼接的方式没办法保证两条线段共线，可见线段和（差）的作图必须有一个前提，那就是A，B，C三点共线. 所以“先画一条射线”能够保证构成元素中的“线”，“依次截取”才能得到另一个元素“点”. 可见，用一般观念来指导教学，不仅可以有效突破教学的重难点，还能强化学生对图形性质本质的理解.问题2 如图6所示，线段AB可以表示成哪两条线段的差？追问：AB=AC-BC和AB=AD-BD这两种表示方法分别抓取的是哪几个点？设计意图 这个追问有一个非常重要的引导价值：在复杂图形中，我们需要关注什么？学生通过思考会发现，无论是哪一种方案，最后抓取的点只有3个，进而提炼出线段和差的基本图形，如图7所示. 借助这个问题的思考，依托构成图形的基本元素提炼基本图形结构，不仅能够让学生的几何学习起到策略性的指导作用，还能再次强化图形性质的研究内容，发展学生的一般观念.5. 线段等分点问题1 如图8所示，如果让图7中的点C动起来，有没有哪个点C的位置值得你特别关注？为什么？线段中点：若点C把线段AB分成相等的两条线段AC和CB，点C叫线段AB的中点，如图9所示.设计意图 线段等分点的教学承载着几何学习中浓墨重彩的一笔——点的位置的特殊化能够带来图形的特殊化. 这个现象如果从一般观念的角度来看，就很好理解. “点”作为构成图形的基本要素，它的位置一旦特殊，势必会带来图形的特殊化. 因此，在教学中教师要让学生充分体验点C的位置变化过程，让学生直观感悟线段等分点的特殊，积累丰富的数学活动经验.问题2 判断“若线段AB=BC，则点B是线段AC的中点”这句话是否正确，并说明理由.设计意图 线段的构成基本要素是“点”和“线”. 除了强调“点”，怎么体现“线”的重要性呢？设置一个数学情境让学生去辨析，是非常有效的手段. 学生在构图的过程中会发现，要让点B成为AC的中点，必须满足线段AB和BC共线，进而意识到“线”的重要性. “共线”更是后续辅助线添加的重要因素.思考与启示数学知识的发生发展有其内在逻辑基础，不同领域的数学学习内容有很多共性的部分. 对几何图形而言，我们主要研究的是图形构成要素和相关要素之间的关系（位置关系、大小关系等）. 倘若我们能站位一般观念，积极地去思考如何在不同几何内容的教学中渗透和提炼共性的研究路径，教会学生研究几何图形的一般思路和基本方法，学生就能逐渐意识到：不同的几何图形只是载体，它们的研究内容、思路和方法都有共通之处. 这样不仅能帮助学生整体把握知识，更能有效地完成知识迁移，还能培养他们的应用意识，落实核心素养，达成深度学习.参考文献：［1］中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2022年版）［M］. 北京：北京师范大学出版社，2022.［2］章建跃. 学会提问（之五）［J］. 中小学数学（高中版），2022（3）：64+66.
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